容斥原理有哪些公式?
三者容斥问题3个公式如下:
标准型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。
非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。
列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
二集合容斥原理的公式为:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的,只不过由于又多了一个集合,公式和图形描述都变得更加复杂。
详细推理如下:
1、 等式右边改造 = {[(A+B - A∩B)+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C。
2、维恩图分块标记如右图图1:1245构成A,2356构成B,4567构成C。
3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
四个集合的容斥原理公式怎么解决?
用|A|表示集合A的基数,也即集合A中元素的个数。则有|A∪B∪C∪D|=|A|+|B|+|C|+|D|-|A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C|-|B∩D|-|C∩D|+|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|-|A∩B∩C∩D|。
在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
扩展资料:
容斥原理中经常用到的有如下两个公式:
1、两集合的容斥关系公式:A∪B=A+B-A∩B。
如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和=A类元素个数+属于B类元素个数-既属于A类又属于B类的元素个数。
2、三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-既是A类又是B类元素的个数-既是B类又是C类元素的个数-既是A类又是C类元素的个数+同时是A类B类C类元素的个数。
参考资料:百度百科-容斥原理
小学的容斥原理公式不要太复杂
核心公式:
(1)两个集合的容斥关系公式:
A+B=A∪B+A∩B
(2)三个集合的容斥关系公式:
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
例题1:2004年中央A类真题
某大学某班学生总数为32人,在***次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是( )。
A.22 B.18 C.28 D.26
解析:设A=***次考试中及格的人(26),B=第二次考试中及格的人(24)
显然,A+B=26+24=50;A∪B=32-4=28,
则根据公式A∩B=A+B-A∪B=50-28=22
所以,答案为A。
例题2:2004年山东真题
某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车又不会游泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有( )人
A.57 B.73 C.130 D.69
解析:设A=会骑自行车的人(68),B=会游泳的人(62)
显然,A+B=68+62=130;A∪B=85-12=73,
则根据公式A∩B=A+B-A∪B=130-73=57
所以,答案为A。
例题3:电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人?
解析:设A=看过2频道的人(62),B=看过8频道的人(34)
显然,A+B=62+34=96;A∩B=两个频道都看过的人(11)
则根据公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85
所以,两个频道都没有看过的人数=100-85=15
所以,答案为15。
例题4:2005年中央A类真题
对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有:
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
解析:设A=喜欢看球赛的人(58),B=喜欢看戏剧的人(38),C=喜欢看电影的人(52)
A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)
B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)
A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)
A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)
根据公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)
=148-(100+18+16-12)=26
所以,只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C
=52-16-26+12
=22
两集合容斥原理公式是什么?
两个集合的容斥关系公式:AUB=A+B-A∩B(∩为重合的部分)
三个集合的容斥关系公式:AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
详细推理如下:
1、等式右边改造={-C∩A}+A∩B∩C。
2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C
3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:
那么AUBUC还缺部分7。
4、等式右边【】号里+C(4+5+6+7)后,相当于AUBUC多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A(即4+5两部分)后,AUBUC又多减了部分5,
则加上A∩B∩C(即5)刚好是AUBUC。
扩展资料:
三集合容斥问题的核心公式如下:
标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。
非标准型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的-2×三个都满足的。
列方程组:|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的,对于以上三组公式的理解,可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。
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