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平行轴定理 、平行轴定理公式
2023-04-24 00:56  浏览:41

什么是转动惯量平行轴定理?

若有任一轴与过质心的轴平行,且该轴与过质心的轴相距为d,刚体对其转动惯量为J',则有:

J'=J+md^2

其中J表示相对通过质心的轴的转动惯量。这个定理称为平行轴定理。

因雅各·史丹纳

(Jakob

Steiner)

而命名,史丹纳定理所指的几个理论,其中一个理论就是平行轴定理。

实验方法及公式推导

一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆,当摆动的振幅甚小时,其振动周期

T

式中J为复摆对以O

为轴转动时的转动惯量,m

为复摆的质量,g

为当地的重力加速度,h

为摆的支点O

到摆的质心

G

的距离.

又设复摆对通过质心

G

平行O

轴的轴转动时的转动惯量为

JG,根据平行轴定理得:

而JG又可写成

JG=

m

k

2,k

就是复摆的回转半径,由此可将⑴式改成为

整理⑶式得:

h=

h1

时,I1=

JG

+

mh12,式中h1为支点O1到摆的质心G的距离,J1是以O1为轴时的转动惯量.同理有:

⑷-

⑸得:

上式反映出转轴位置对转动的影响,也是对平行轴定理的检验.在⑹式中令

y=

T2h-

T12h1,x

=

h2-h12,则⑹式变为

从测量可得出

n

组(x,y)

值,用最小二乘法求出拟合直线y=

a+

bx及相关系数r,若r接近于1,说明x与y二者线性相关,平行轴定理得到验证;

或作T2h-

T12h1对h2-h12图线,若到检验为一直线,平行轴定理亦得.

如何推导平行轴定理。

推导平行轴定理的方法

方法一

刚体对任意轴的转动惯量,等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量,再加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积,此为平行轴定理.关于此定理的验证,采用三线摆和刚体转动实验仪来验证.在这里利用复摆验证平行轴定理的方法.

一 实验方法及公式推导

一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆,当摆动的振幅甚小时,其振动周期 T 为

式中J为复摆对以O 为轴转动时的转动惯量,m 为复摆的质量,g 为当地的重力加速度,h 为摆的支点O 到摆的质心 G 的距离. 又设复摆对通过质心 G 平行O 轴的轴转动时的转动惯量为 JG,根据平行轴定理得:

而JG又可写成 JG= m k 2,k 就是复摆的回转半径,由此可将⑴式改成为

整理⑶式得:

当 h= h1 时,I1= JG + mh12,式中h1为支点O1到摆的质心G的距离,J1是以O1为轴时的转动惯量.同理有:

⑷- ⑸得:

上式反映出转轴位置对转动的影响,也是对平行轴定理的检验.在⑹式中令 y= T2h- T12h1,x = h2-h12,则⑹式变为

从测量可得出 n 组(x,y) 值,用最小二乘法求出拟合直线y= a+ bx及相关系数r,若r接近于1,说明x与y二者线性相关,平行轴定理得到验证; 或作T2h- T12h1对h2-h12图线,若到检验为一直线,平行轴定理亦得.

方法二

测量举例

1) 测量步骤

a. 测定重心 G 的位置 SG

将复摆水平放在支架的刀刃上,利用杠杆原理寻找 G 点的位置.

b. 量出各支点对应的 h 值.

c. 测出复摆绕各支点摆动的周期 T 摆角小于 (5°改变支点 10 次).

2) 数据记录

各支点对应的 h 值及周期T见表1.

3) 数据处理

取 h1= 6 cm,T1= 1.51 s,根据测量数据可得出10组(x,y)值,见表2

根据最小二乘法求出参数 a,b,得出

a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2

b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1

r= 0. 999375

在此实验中,误差的主要来源是偶然误差,所以只计算A 类标准不确定度作为总的不确定度,略去B 类不确定度.结果 a,b 的不确定度为:

u(a) = 18×10-2 cm ·s 2

u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1

平行轴定理

最后结果为:

a= (21±18) ×10-2 cm ·s 2

b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1

r= 0. 999375

从最后结果可以看出,x 与 y 二者完全线性相关,平行轴定理得到验证.

平行轴定理 内容,公式是什么?

平行轴定理的内容及作用如下:

平行轴定理能够很简易地,从刚体对于一支通过质心的直轴的转动惯量,计算出刚体对平行于质心轴的另外一支直轴的转动惯量。

平行轴定理公式内容及推导方法如下:

设通过刚体质心的轴线为Z轴,刚体相对于这个轴线的转动惯量为Jc。如果有另一条轴线Z1与通过质心的轴线Z平行,那么,刚体对通过Z轴的转动惯量为J等于Jc加md的平方。

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